如何通俗理解傅里葉變換

傅里葉變換和傅里葉級數是有史以來最深奧的數學發(fā)現之一。它們幫助我們將函數分解為其基本成分。它們揭示了任何數學函數的基本模塊，

使我們能夠利用這些模塊來更好地理解和操縱它們。但是，傅里葉級數和傅里葉變換背后的思想究竟是什么，這些 “基本成分 "又是什么？

我們在高中都學過什么是余弦和正弦。它們將直角三角形的角度與兩條邊長之比聯系起來。

另一種理解方式是，余弦和正弦分別是繞單位圓移動的點的 x 坐標和 y 坐標。它們是人們能想到的周期函數之一。

傅里葉級數用于周期函數。作為快速提示，如果以下條件成立，則稱函數  為周期函數，基本周期為 T：

我們將周期函數的基頻定義為 ，即基頻周期的倒數。如果周期告訴我們函數重復的頻率，

那么頻率則告訴我們每單位時間（或函數所依賴的任何其他單位）有多少次重復。

現在我們已經掌握了定義傅立葉級數所需的一切。

傅里葉級數是正弦函數的無限加權和，每個正弦函數的頻率都是原始周期函數基頻的整數倍傅立葉級數的公式如下：

如果您已經理解了有關傅里葉級數的所有內容，那么傅里葉變換就會變得非常簡單。這次我們關注的是非周期函數。傅立葉變換的公式如下：

傅立葉變換的結果是頻率的函數。請記住，希臘字母歐米茄 “ω"用來表示角頻率，它是乘積  的別稱。當初始函數  是一個時間函數時，

傅里葉變換給出了該函數的頻率內容。摘自維基百科的一句話：

時間函數的傅里葉變換是頻率的復值函數，其幅值（絕對值）代表原始函數中該頻率的量，其參數是該頻率中基本正弦波的相位偏移。

傅里葉變換并不局限于時間函數，但原始函數的域通常被稱為時域。

我們可以利用反傅里葉變換找回初始函數：

讓我們比較一下反傅里葉變換和傅里葉級數。

首先，我們使用復指數來表示正弦函數，而不是使用余弦函數和正弦函數（這會導致兩個積分），這樣會更加簡潔。積分前的系數 1/2π 是為了對稱的目的。

我們馬上會注意到的另一件重要事情是，我們現在有了一個積分，而不是離散的 “西格瑪 "和。請記住，積分本身也是和，不同的是，在積分下求和的量是連續(xù)的，而不是離散的。由于初始函數  現在是非周期的，我們需要所有可能的頻率（從負無窮到正無窮）來表示它。在傅里葉級數的情況下，我們只使用 T 的整數倍。由于我們現在沒有基本周期 T，我們不得不使用所有的 T。

至于復指數的系數，我們可以得到該函數在每個可能頻率 ω 下的傅里葉變換值。正如您所看到的，從傅里葉級數的概念到反傅里葉變換的概念之間存在著明顯的一一對應關系。